Олексій народився та прожив усе життя в рідній Тернівці. До початку повномасштабного вторгнення він присвятив себе почесній праці гірника, працюючи на шахті «Західно-Донбаська», де здобув повагу колег за працьовитість та відданість справі.
Шлях захисника для Олексія розпочався ще у 2015–2016 роках, коли він брав участь в Антитерористичній операції на сході України.
З перших днів великої війни, 25 лютого 2022 року, він знову став на захист Батьківщини за мобілізацією. Олексій проходив службу на посаді навідника гранатометного взводу роти вогневої підтримки 1-го батальйону оперативного призначення (в/ч 3102). Його досвід та вірність присязі були надійною опорою для побратимів.
04 березня 2026 року під час виконання бойового завдання поблизу населеного пункту Петрівка Харківської області солдат Олексій Глєбов загинув. Він до останнього подиху залишався вірним українському народу, віддавши життя за свободу та незалежність нашої держави.
У загиблого Героя залишилися мати Ірина Пантеліївна, сестра Катерина Олександрівна та син Артем.